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[摘要] 本研究对物理实验中的测量误差与不确定度之间的区别和联系做了阐述，给出了在药用物理实验中不确定度评定的简化表达式和计算流程。
[关键词] 物理实验；不确定度；评定方法
[中图分类号] O4-33 [文献标识码] B [文章编号] 2095-0616（2011）21-23-02
Application and research of uncertainty of measurement in medicinal physical experiment teaching
SHI Jiannan WANG Qin WANG Xianshu
Research Section of Physics in the Department of Medicine,Guiyang College of Traditional Chinese Medicine,Guiyang 550002,China
[Abstract] This paper explained concepts of "the error of measurement"and "the uncertainty of measurement"in the physics experiment,and discusses the relationship and difference between them.A reasonable simplified expression and flow chart of uncertainty evaluation is introduced in medicinal physical experiment.
[Key words] Physics experiment;Uncertainty;Assessment
长期以来，药用物理实验中对实验数据的处理都采用的是传统的误差理论。由于其存在的一些局限性，用“不确定度”对实验结果进行评定的评定体系孕育而生并被逐步完善和广泛采用。1999年我国发布了JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》，明确提出了测量结果的最终形式要用不确定度来评定和表示。严格按规范计算测量结果的不确定度通常需要遵循如下主要流程：①确定统计量的分布特征，计算标准偏差，以求得A类不确定度；②分析产生非统计误差的主要因素，估计误差限及相应置信度，以求得B类不确定度；③估计协方差，以求得完善的合成标准不确定度；④确定自由度和覆盖因子，以求得扩展不确定度。由于完整的不确定度评定过程较为复杂，且涉及到数理统计、误差分布知识，对低年级的学生比较困难，再则也没有必要让非物理专业的学生对每个实验都作完整的不确定度评定。根据实际教学的需要，充分考虑教师教学的可操作性及学生学习的可接受性，在不影响测量不确定度基本计算方法的前提下，对测量结果的评定作适当地简化。
1 误差与不确定度的区别和联系
1.1 两者的区别
1.1.1 概念上的区别 误差是表示测量值与真值之差，其值可正可负，甚至接近零。而真值是不可知的，却又客观存在但又不可能测得，它只存在于理论和理想状态中。这样误差也就无法确切知道，是不确定的。测量不确定度表征被测量的真值所处量值范围的评定。它按某一置信概率给出真值可能落入的区间，以参数形式定量表示了无法修正的那部分误差范围。因此它是用于表征合理赋予被测量值的分散性参数，它可以是标准偏差或其倍数，或是说明了置信水准的区间的半宽，是一个不为零、恒为正的值。显然，不确定度表述的是可观测量-测量结果的分散性，而误差表述的却是不可知量-测量结果偏离真值的程度。所以，从定义上看不确定度比误差更科学合理。
1.1.2 分类上的区别 传统的误差理论按测量结果中的规律可分为随机误差和系统误差，数据处理时只能将随机误差与系统误差分开计算。但在实际测量中，有相当多的情形很难区分误差的性质是“随机”还是“系统”的，而且有的误差还具有“随机”和“系统”两重性。不确定度理论摒弃了传统的误差理论中“系统”和“随机”的分类方式，采用由观测量统计分析评定的A类不确定度和由非统计分析评定的B类不确定度。测量列平均值的标准偏差属于标准不确定度的A类评定。B类不确定度的信息来源一般包括测量中所用装置的制造说明书、鉴定证书、手册中给出的参数等，此外测量读数时的估计误差也属于B类评定。尽管两类分量采用的计算方法不同，但由于同样具有统计性质，可以进行合成，测量结果的最终误差是这两类分量在相同置信概率下合成的总不确定度。显然，不确定度分类的方法弥补了传统误差分类的缺陷。
1.2 两者的联系
虽然测量不确定度与误差有本质区别，但它们仍存在着密切的联系。不确定度的概念是误差理论的应用和拓展，而误差分析依然是测量不确定度评估的理论基础。任何测量都不可避免产生误差，也正是由于误差的客观存在，才会出现测量数据的离散。对此，采用贝塞耳公式估算分散的标准偏差，从而引入了不确定度对误差处理的评价体系。在估计B类分量时，更是离不开误差分析。例如在技术规范、规程中规定的测量仪器允许误差的极限值，称为“最大允许误差”或“允许误差限”。它是制造厂对某种型号仪器所规定的示值误差的允许范围，而不是某一台仪器实际存在的误差。测量仪器的最大允许误差可在仪器说明书中查到，用数值表示时有正负号，通常用绝对误差、相对误差、引用误差或它们的组合形式表示。测量仪器的最大允许误差不是测量不确定度，但可以作为测量不确定度评定的依据。测量结果中由测量仪器引入的不确定度可根据该仪器的最大允许误差按B类评定方法评定。
2 不确定度的简明估算
2.1 直接测量量不确定度的评定
2.1.1 A类不确定度 在物理试验中对直接测量量（如：长度，质量等）通常采用等精度测量。设某一物理量等精度n次独立测量值为x1，x2，……，xn。当测量次数n→∞时，测量值呈正态分布，但实际测量特别是教学实验中均为有限次测量，测量的次数一般不超过10次。因此，测量结果往往偏离正态分布而服从t分布。用测量列的算术平均值作为测量结果时，它的A类标准不确定度可由贝塞尔公式求出（1），式中tp是与一定的置信概率P相联系的置信因子。见表1。
在教学中测量次数一般不大于10次，当6≤n≤10，置信概率P=0.683时，tp≈1。（1）式简化为（2），S-x称为测量列平均值的标准偏差。
2.1.2 B类不确定度 B类不确定度不能用统计方法进行计算，在教学中，直接测量的B类不确定度一般只考虑仪器最大允差的影响。若仪器最大允差为Δ仪，则B类不确定度为
（3），kp为一定置信概率下相应的置信因子。见表2。
表2 kp置信因子
概率分布 正态分布 均匀分布
p 68.3% 95.0% 99.7% 57.7% 95.0% 99.0%
kp 1.00 1.96 3.00 1.00 1.65 1.71
c是仪器误差概率分布的置信系数。对于正态分布、均匀分布、三角分布c的值分别为3、、。物理实验中通常约定常用仪器误差遵从均匀分布，特殊情况再另行计算。由表2知，当置信概率P=0.577时，kp＝1，即（4），为了与A类不确定度一致，得到P=0.683的置信概率，上式应乘上系数，即对于均匀分布，P=0.683的B 类不确定度为：
（5）。
2.1.3 合成不确定度 合成不确定度，即A 类和B 类不确定度的总和，其合成公式为 （6），如当B类不确定度较小（可忽略），则总不确定度直接用A类不确定度uA表示。对于少次数测量，可用测量列的标准偏差S-x表示，即u=S-x。如当，或因估计出的u对实验最后结果影响甚小，合成标准不确定度u的数值可简单地用uB表示；或因条件限制只进行了一次测量时，可直接以△仪表示，即u=△仪。
2.2 间接测量量不确定度的评定
设间接测量量y是相互独立的，它与直接测量量x1，x2，…，xn的函数关系为ｙ＝ｆ（x1，x1，…，xn）。其不确定度由各直接测量量的不确定度通过传递公式计算出来。将ｙ＝ｆ（x1，x2，…，xn）按泰勒级数展开，略去高次项，再用平方合成的方法可以得到：
（7），
（8）。
（7）式为间接测量量函数式为和差形式时，相应的不确定度；（8）式为间接测量量函数式为积商形式时，相应的不确定度。
3 实验数据的拟合
实验中经常需要观测两个有函数关系的物理量ｘ和y。设ｙ＝ｆ（x；C1，C2，…，Cn）。其中C1，C2，…，Cn是一组待定的参数，即2个随机变量的函数关系已知，未知的只是其中某些参数的数值。曲线拟合的任务是通过带有误差的观测点求出理论曲线的参数的估计值，从而将观测点之间的关系用最佳的实验曲线来描述。最小二乘法认为，若能找到一条最佳的拟合曲线，则各测量值与这条曲线上各相应点的数值之差的平方和，在所有拟合曲线中为最小。为讨论简便起见，将自变量ｘ的观测值看作准确值，这样就只须考虑因变量ｙ的残差。据最小二乘法，C1，C2，…，Cn的最佳值应使残差的平方和S为最小，即：,因而Ｓ的一阶偏微商为0。由此，得到n个联立方程：
C1，C2，…，Cn是以上方程组的解。
在用函数拟合的方法来求解两变量之间的关系时，最简单、最基本的是一元线性拟合，它是曲线拟合的特例。设两物理量x、y满足线性关系ｙ＝ｋｘ+ｂ，其中k是待定直线的斜率，b是待定直线的Y轴截距。如果能够确定k、b的数值，那么直线方程也就被确定了。按最佳拟合的公式作出的直线虽然不一定能通过每一个实验点，但它是以最接近这些实验点的方式平滑地穿越它们。显然对应于每一个xi，观测值yi和拟合直线之间存在一定的偏差，即
（i=1，2，3，...，n）。由最小二乘法可知，当δyi的平方和为最小时，得到最佳拟合公式。若以s表示δyi的平方和，则有，式中k和b是待求的。把s看作k、b的函数，s要取得最小值就必须要求s对k和b的偏导为零，即k和b的值应是下列方程的解。
表1 tp置信因子
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 ∞
T0.68 1.84 1.32 1.20 1.14 1.11 1.09 1.08 1.07 1.06 1.03 1.02 1.00
T0.95 12.70 4.30 3.18 2.78 2.57 2.45 2.36 2.31 2.26 2.09 2.05 1.96
T0.99 63.66 9.93 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50 3.36 3.25 2.86 2.76 2.58
若x和y之间的函数关系不清楚，则要根据理论分析的结果和测量量变化的趋势，推测和选择函数形式。至于能否选择线性函数形式拟合可以通过相关系数r来判断。
，，，
如果r的绝对值越接近l，说明x和y的关系越接近线性关系，各实验数据密集在求得的直线附近，用线性回归比较合理。r的绝对值远小于1，则说明x和y之间不存在线性关系，进行直线拟合无意义，须用其他函数形式重新试探。
4 结论
不确定度的理论虽然很复杂，但经过适当的近似处理以后的简化方案既注意到教学处理的灵活性和实验的可操作性，又保持了误差理论的科学性，学生是可以接受的，在教学上也是可行的。
[参考文献]
[1] 朱鹤年.新概念物理实验测量引论[M].北京：高等教育出版社，2007：8-10.
[2] 李慎安.测量不确定度表达百问[M].北京：中国计量出版社，2001：32-58.
[3] 刘世清，高宇飞，金少先.大学物理实验中测量不确定度的评定方法[J].大庆石油学院学报，2006，30（3）：86-87.
[4] 贾翠红，赖恒，雷晋萍.测量不确定度及其估算[J].福建大学学报（自然科学版），2007，23（1）：96-99.
[5] 李慎安.测量结果与不确定度表示[J].中国计量，2002，35（12）：37.
（收稿日期：2011-09-21）
[关键词] 物理实验；不确定度；评定方法
[中图分类号] O4-33 [文献标识码] B [文章编号] 2095-0616（2011）21-23-02
Application and research of uncertainty of measurement in medicinal physical experiment teaching
SHI Jiannan WANG Qin WANG Xianshu
Research Section of Physics in the Department of Medicine,Guiyang College of Traditional Chinese Medicine,Guiyang 550002,China
[Abstract] This paper explained concepts of "the error of measurement"and "the uncertainty of measurement"in the physics experiment,and discusses the relationship and difference between them.A reasonable simplified expression and flow chart of uncertainty evaluation is introduced in medicinal physical experiment.
[Key words] Physics experiment;Uncertainty;Assessment
长期以来，药用物理实验中对实验数据的处理都采用的是传统的误差理论。由于其存在的一些局限性，用“不确定度”对实验结果进行评定的评定体系孕育而生并被逐步完善和广泛采用。1999年我国发布了JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》，明确提出了测量结果的最终形式要用不确定度来评定和表示。严格按规范计算测量结果的不确定度通常需要遵循如下主要流程：①确定统计量的分布特征，计算标准偏差，以求得A类不确定度；②分析产生非统计误差的主要因素，估计误差限及相应置信度，以求得B类不确定度；③估计协方差，以求得完善的合成标准不确定度；④确定自由度和覆盖因子，以求得扩展不确定度。由于完整的不确定度评定过程较为复杂，且涉及到数理统计、误差分布知识，对低年级的学生比较困难，再则也没有必要让非物理专业的学生对每个实验都作完整的不确定度评定。根据实际教学的需要，充分考虑教师教学的可操作性及学生学习的可接受性，在不影响测量不确定度基本计算方法的前提下，对测量结果的评定作适当地简化。
1 误差与不确定度的区别和联系
1.1 两者的区别
1.1.1 概念上的区别 误差是表示测量值与真值之差，其值可正可负，甚至接近零。而真值是不可知的，却又客观存在但又不可能测得，它只存在于理论和理想状态中。这样误差也就无法确切知道，是不确定的。测量不确定度表征被测量的真值所处量值范围的评定。它按某一置信概率给出真值可能落入的区间，以参数形式定量表示了无法修正的那部分误差范围。因此它是用于表征合理赋予被测量值的分散性参数，它可以是标准偏差或其倍数，或是说明了置信水准的区间的半宽，是一个不为零、恒为正的值。显然，不确定度表述的是可观测量-测量结果的分散性，而误差表述的却是不可知量-测量结果偏离真值的程度。所以，从定义上看不确定度比误差更科学合理。
1.1.2 分类上的区别 传统的误差理论按测量结果中的规律可分为随机误差和系统误差，数据处理时只能将随机误差与系统误差分开计算。但在实际测量中，有相当多的情形很难区分误差的性质是“随机”还是“系统”的，而且有的误差还具有“随机”和“系统”两重性。不确定度理论摒弃了传统的误差理论中“系统”和“随机”的分类方式，采用由观测量统计分析评定的A类不确定度和由非统计分析评定的B类不确定度。测量列平均值的标准偏差属于标准不确定度的A类评定。B类不确定度的信息来源一般包括测量中所用装置的制造说明书、鉴定证书、手册中给出的参数等，此外测量读数时的估计误差也属于B类评定。尽管两类分量采用的计算方法不同，但由于同样具有统计性质，可以进行合成，测量结果的最终误差是这两类分量在相同置信概率下合成的总不确定度。显然，不确定度分类的方法弥补了传统误差分类的缺陷。
1.2 两者的联系
虽然测量不确定度与误差有本质区别，但它们仍存在着密切的联系。不确定度的概念是误差理论的应用和拓展，而误差分析依然是测量不确定度评估的理论基础。任何测量都不可避免产生误差，也正是由于误差的客观存在，才会出现测量数据的离散。对此，采用贝塞耳公式估算分散的标准偏差，从而引入了不确定度对误差处理的评价体系。在估计B类分量时，更是离不开误差分析。例如在技术规范、规程中规定的测量仪器允许误差的极限值，称为“最大允许误差”或“允许误差限”。它是制造厂对某种型号仪器所规定的示值误差的允许范围，而不是某一台仪器实际存在的误差。测量仪器的最大允许误差可在仪器说明书中查到，用数值表示时有正负号，通常用绝对误差、相对误差、引用误差或它们的组合形式表示。测量仪器的最大允许误差不是测量不确定度，但可以作为测量不确定度评定的依据。测量结果中由测量仪器引入的不确定度可根据该仪器的最大允许误差按B类评定方法评定。
2 不确定度的简明估算
2.1 直接测量量不确定度的评定
2.1.1 A类不确定度 在物理试验中对直接测量量（如：长度，质量等）通常采用等精度测量。设某一物理量等精度n次独立测量值为x1，x2，……，xn。当测量次数n→∞时，测量值呈正态分布，但实际测量特别是教学实验中均为有限次测量，测量的次数一般不超过10次。因此，测量结果往往偏离正态分布而服从t分布。用测量列的算术平均值作为测量结果时，它的A类标准不确定度可由贝塞尔公式求出（1），式中tp是与一定的置信概率P相联系的置信因子。见表1。
在教学中测量次数一般不大于10次，当6≤n≤10，置信概率P=0.683时，tp≈1。（1）式简化为（2），S-x称为测量列平均值的标准偏差。
2.1.2 B类不确定度 B类不确定度不能用统计方法进行计算，在教学中，直接测量的B类不确定度一般只考虑仪器最大允差的影响。若仪器最大允差为Δ仪，则B类不确定度为
（3），kp为一定置信概率下相应的置信因子。见表2。
表2 kp置信因子
概率分布 正态分布 均匀分布
p 68.3% 95.0% 99.7% 57.7% 95.0% 99.0%
kp 1.00 1.96 3.00 1.00 1.65 1.71
c是仪器误差概率分布的置信系数。对于正态分布、均匀分布、三角分布c的值分别为3、、。物理实验中通常约定常用仪器误差遵从均匀分布，特殊情况再另行计算。由表2知，当置信概率P=0.577时，kp＝1，即（4），为了与A类不确定度一致，得到P=0.683的置信概率，上式应乘上系数，即对于均匀分布，P=0.683的B 类不确定度为：
（5）。
2.1.3 合成不确定度 合成不确定度，即A 类和B 类不确定度的总和，其合成公式为 （6），如当B类不确定度较小（可忽略），则总不确定度直接用A类不确定度uA表示。对于少次数测量，可用测量列的标准偏差S-x表示，即u=S-x。如当，或因估计出的u对实验最后结果影响甚小，合成标准不确定度u的数值可简单地用uB表示；或因条件限制只进行了一次测量时，可直接以△仪表示，即u=△仪。
2.2 间接测量量不确定度的评定
设间接测量量y是相互独立的，它与直接测量量x1，x2，…，xn的函数关系为ｙ＝ｆ（x1，x1，…，xn）。其不确定度由各直接测量量的不确定度通过传递公式计算出来。将ｙ＝ｆ（x1，x2，…，xn）按泰勒级数展开，略去高次项，再用平方合成的方法可以得到：
（7），
（8）。
（7）式为间接测量量函数式为和差形式时，相应的不确定度；（8）式为间接测量量函数式为积商形式时，相应的不确定度。
3 实验数据的拟合
实验中经常需要观测两个有函数关系的物理量ｘ和y。设ｙ＝ｆ（x；C1，C2，…，Cn）。其中C1，C2，…，Cn是一组待定的参数，即2个随机变量的函数关系已知，未知的只是其中某些参数的数值。曲线拟合的任务是通过带有误差的观测点求出理论曲线的参数的估计值，从而将观测点之间的关系用最佳的实验曲线来描述。最小二乘法认为，若能找到一条最佳的拟合曲线，则各测量值与这条曲线上各相应点的数值之差的平方和，在所有拟合曲线中为最小。为讨论简便起见，将自变量ｘ的观测值看作准确值，这样就只须考虑因变量ｙ的残差。据最小二乘法，C1，C2，…，Cn的最佳值应使残差的平方和S为最小，即：,因而Ｓ的一阶偏微商为0。由此，得到n个联立方程：
C1，C2，…，Cn是以上方程组的解。
在用函数拟合的方法来求解两变量之间的关系时，最简单、最基本的是一元线性拟合，它是曲线拟合的特例。设两物理量x、y满足线性关系ｙ＝ｋｘ+ｂ，其中k是待定直线的斜率，b是待定直线的Y轴截距。如果能够确定k、b的数值，那么直线方程也就被确定了。按最佳拟合的公式作出的直线虽然不一定能通过每一个实验点，但它是以最接近这些实验点的方式平滑地穿越它们。显然对应于每一个xi，观测值yi和拟合直线之间存在一定的偏差，即
（i=1，2，3，...，n）。由最小二乘法可知，当δyi的平方和为最小时，得到最佳拟合公式。若以s表示δyi的平方和，则有，式中k和b是待求的。把s看作k、b的函数，s要取得最小值就必须要求s对k和b的偏导为零，即k和b的值应是下列方程的解。
表1 tp置信因子
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 ∞
T0.68 1.84 1.32 1.20 1.14 1.11 1.09 1.08 1.07 1.06 1.03 1.02 1.00
T0.95 12.70 4.30 3.18 2.78 2.57 2.45 2.36 2.31 2.26 2.09 2.05 1.96
T0.99 63.66 9.93 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50 3.36 3.25 2.86 2.76 2.58
若x和y之间的函数关系不清楚，则要根据理论分析的结果和测量量变化的趋势，推测和选择函数形式。至于能否选择线性函数形式拟合可以通过相关系数r来判断。
，，，
如果r的绝对值越接近l，说明x和y的关系越接近线性关系，各实验数据密集在求得的直线附近，用线性回归比较合理。r的绝对值远小于1，则说明x和y之间不存在线性关系，进行直线拟合无意义，须用其他函数形式重新试探。
4 结论
不确定度的理论虽然很复杂，但经过适当的近似处理以后的简化方案既注意到教学处理的灵活性和实验的可操作性，又保持了误差理论的科学性，学生是可以接受的，在教学上也是可行的。
[参考文献]
[1] 朱鹤年.新概念物理实验测量引论[M].北京：高等教育出版社，2007：8-10.
[2] 李慎安.测量不确定度表达百问[M].北京：中国计量出版社，2001：32-58.
[3] 刘世清，高宇飞，金少先.大学物理实验中测量不确定度的评定方法[J].大庆石油学院学报，2006，30（3）：86-87.
[4] 贾翠红，赖恒，雷晋萍.测量不确定度及其估算[J].福建大学学报（自然科学版），2007，23（1）：96-99.
[5] 李慎安.测量结果与不确定度表示[J].中国计量，2002，35（12）：37.
（收稿日期：2011-09-21）