论文部分内容阅读
在近年来的高考、自主招生考试和物理竞赛试题中屡次出现这类问题，其运动过程或研究对象是非理想化的.因加速度不断变化，故无法选用牛顿第二定律与运动学公式求解位移、时间或速度.因物体受力变化复杂而无法求解做功，故用能量的知识处理时同样碰到困难.收尾速度问题是这类问题中的类型之一.本文将这一类问题与著名的芝诺佯谬联系起来，试从数学逻辑思维、定性和定量的角度对收尾问题进行剖析.
1芝诺佯谬
古希腊哲学家芝诺（Zeno）曾提出一个佯谬：“阿喀琉斯（Achilles）是古希腊传说中的善跑者，是特洛伊战争中的英雄，他比乌龟跑得快10倍，但他却永远追不上乌龟.因为，假定他们开始赛跑时，乌龟在阿喀琉斯前面100米，那么当阿喀琉斯跑了100米而到达乌龟原来所在地点时，乌龟已经前进了10米.现在阿喀琉斯又得跑10米以便赶上乌龟，但在跑完10米时，他发现乌龟已经在他前面1米；当他再跑1米时，他又发现乌龟已在他前面10厘米.如此下去，直至无穷.因此，在任何时刻乌龟总是在阿喀琉斯前面，阿喀琉斯永远追不上乌龟.”
芝诺提出的这个运动的悖论是发人深思的.问题出在哪里呢？为了澄清芝诺的佯谬，“芝诺时”、“不均匀时间”、“时空并不是无限可分的”、“运动不是连续的”等观点相继被提出，有研究者利用数学数列方法进行了解释，实际计算一下便知，阿喀琉斯追上乌龟所用时间为10 1 0.1 0.01……=11.11……（秒），在此出现了具有收敛性的等比数列10，1，0.1，0.01，……，其数列求和的值实为一定值.在芝诺的解释中，芝诺实质上只做了“微分”，而没有做“积分”，并且偷换了概念：无限多项相加应该为无限大，即无限多次的时间迭加就是“永远”，这显然犯了个典型的逻辑错误，因为根据数学级数理论：任何的一个有限量都可以通过无限多项的相加来表达.在高中物理关于物体运动的问题中，存在着诸多类似芝诺佯谬的实例，其中收尾速度问题便是其中之一.
2收尾速度问题的研究
2.1与空气阻力有关的收尾速度
例1将一只皮球竖直向上抛出，皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比.下列描绘皮球在上升过程中加速度大小a与时间t关系的图象（图1），可能正确的是
例2无风的情况下，在离地面高为H处，将质量为m的球以速度v0水平抛出，在空气中运动时所受的阻力f=kv，v是球的速度，k是已知的常数，阻力的方向与速度方向相反，并且球在着地前已经竖直向下做匀速运动，重力加速度为g.（1）小球刚抛出时加速大小；（2）求球从抛出到着地过程中克服空气阻力做的功；（3）若有一个与上述相同的球从同一地点由静止释放，试比较两球落地所需时间和着地时的速度，并简述理由.
上述两个问题物体在空中运动，由于受到空气阻力作用，物体并不做竖直上抛和自由落体运动.空气阻力与物体运动速度有关，速度越大，阻力就越大.
小球在上升过程中做减速运动，空气阻力随着速度的减小而减小，当速度减至零时，小球只受重力，加速度为重力加速度.接下来进行定量分析，不妨选取竖直向下方向作为正方向，根据牛顿第二定律，建立微分方程
取下落过程讨论，由v（t）=mgk（1-e-kmt）可断定，随着时间的推移，小球速度越来越大并趋近于mgk，但却永远不可能做匀速直线运动，依此分析小球做加速度越来越小的加速运动的时间将是无穷大，只要小球不落至地面.若换个角度考虑，取小球下落过程第1段距离l，对应的运动时间记为t1，取紧接着的第2段相同的距离l，其运动时间记为t2，依此类推……则小球运动的总时间t=t1 t2 t3 …，无穷多个时间相加，那么总时间岂不是为无穷大？基于上述分析，对小球上升过程研究，那么小球岂不是永远到不了最高点？这显然与事实相悖.在此，“阿喀琉斯永远追不上乌龟”的现象出现重演.究其原因，该问题与芝诺佯谬一样，分析犯了逻辑错误：认为无限多项相加应该为无限大，却忽略了这些无穷多项具有收敛性、其总和是一定的.
2.2与机车牵引力有关的收尾速度
例3机车以恒定功率启动，其运动过程分析.
机车启动问题在中学物理中备受青睐，其原因之一是其物理过程是一个典型的变加速运动，对机车启动过程v↑→F↓→a↓的动态分析过程，对训练学生的思维、理解运动过程很有帮助，并且还有一个趋于完美的结论——“速度达到最大后，机车做匀速直线运动”.
2.3与洛伦兹力有关的收尾速度
例4如图2所示，水平面上放有质量m，带电 q的滑块，滑块和水平面之间的动摩擦因数为μ.水平面所在位置有场强大小为E、方向水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场.若μ 带电粒子在匀强磁场中（或者同时还存在匀强电场和重力场）运动时受到洛伦兹力，洛伦兹力与粒子运动速度有关，速度越大，洛伦兹力就越大.在该问题中，洛伦兹力的变化也导致了滑块所受摩擦力的变化，因此物体做变加速运动.有研究者运用动量定理结合微元法，求解出路程
问题产生了，两种求解结果并不相等，问题出在哪？对滑块的运动过程细致分析，运动情况与前文中讨论的小球运动和机车启动类似，在此同样存在一个滑块由做变加速运动至刚好脱离水平面的过程，微分方程的求解结果反映了速度渐变的过程，且速度趋近于v=mgqB，这一过程看似会一直持续下去，那么滑块将永远不能离开水平面.当然，这种思考同样还是犯了芝诺佯谬中的错误.微元法和微分方程法本身求解实际上都不存在错误，只要时间t=mμqBlnqEqE-μmg时，则微分方程求解结果便等于微元法的结果了.
2.4与安培力有关的收尾速度
例5如图3所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计.匀强磁场与导轨平面垂直.阻值为R的导体棒垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好.t=0时，将开关S由1掷到2.q、i、v和a分别表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度和加速度.下列图象（图4）正确的是
导体棒在匀强磁场中运动时发生了电磁感应现象，产生了感应电流，导体棒受到了安培力作用，继而又影响了运动，导体棒做变加速运动.设磁感应强度为B，导轨间间距为L，导体棒质量为m，对开关S由1掷2后导体棒运动过程分析，根据牛顿第二定律
导体棒做加速度越来越小的加速运动，直至动生电动势大小与电容器初始时的电压E相等，最终导体棒做匀速直线运动，此时速度、加速度、电流、电荷量为定值.各物理量随时间呈现指数衰减变化规律，若时间取足够大，则函数值便趋于某定值，即
这又是一个物体似乎永远不可能最终做匀速直线运动的例子，作类似上述例子分析，其实仍然属于芝诺佯谬的表现.
3结语
佯谬问题在科学发展史上对物理学的发展起着重要的推动作用，如物理学上著名的佯谬有“落体佯谬”，“双生子佯谬”，“EPR佯谬”，“薛定谔猫”等，这些佯谬的出现往往昭示着原有理论体系内部存在着逻辑矛盾，暴露出原有理论体系的非科学性和局限性，它能诱发人们对旧理论的深层思考，并极大激励和启迪人们开始探索一个新的物理学领域.每一个佯谬的提出和解决往往孕育着新理论的诞生.中学物理教学过程中，适当地提出一些基于学生的最近发展区的联系教学实际的佯谬问题，对学生而言充满了新奇而挑战性，可以激发学生思考的积极性，学生可以通过查阅资料、设计实验、思维辩证讨论等多种形式试图去解决问题，这有利于学生自主学习思考能力的改善、科学素养的培养和团队协作能力的提高.
1芝诺佯谬
古希腊哲学家芝诺（Zeno）曾提出一个佯谬：“阿喀琉斯（Achilles）是古希腊传说中的善跑者，是特洛伊战争中的英雄，他比乌龟跑得快10倍，但他却永远追不上乌龟.因为，假定他们开始赛跑时，乌龟在阿喀琉斯前面100米，那么当阿喀琉斯跑了100米而到达乌龟原来所在地点时，乌龟已经前进了10米.现在阿喀琉斯又得跑10米以便赶上乌龟，但在跑完10米时，他发现乌龟已经在他前面1米；当他再跑1米时，他又发现乌龟已在他前面10厘米.如此下去，直至无穷.因此，在任何时刻乌龟总是在阿喀琉斯前面，阿喀琉斯永远追不上乌龟.”
芝诺提出的这个运动的悖论是发人深思的.问题出在哪里呢？为了澄清芝诺的佯谬，“芝诺时”、“不均匀时间”、“时空并不是无限可分的”、“运动不是连续的”等观点相继被提出，有研究者利用数学数列方法进行了解释，实际计算一下便知，阿喀琉斯追上乌龟所用时间为10 1 0.1 0.01……=11.11……（秒），在此出现了具有收敛性的等比数列10，1，0.1，0.01，……，其数列求和的值实为一定值.在芝诺的解释中，芝诺实质上只做了“微分”，而没有做“积分”，并且偷换了概念：无限多项相加应该为无限大，即无限多次的时间迭加就是“永远”，这显然犯了个典型的逻辑错误，因为根据数学级数理论：任何的一个有限量都可以通过无限多项的相加来表达.在高中物理关于物体运动的问题中，存在着诸多类似芝诺佯谬的实例，其中收尾速度问题便是其中之一.
2收尾速度问题的研究
2.1与空气阻力有关的收尾速度
例1将一只皮球竖直向上抛出，皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比.下列描绘皮球在上升过程中加速度大小a与时间t关系的图象（图1），可能正确的是
例2无风的情况下，在离地面高为H处，将质量为m的球以速度v0水平抛出，在空气中运动时所受的阻力f=kv，v是球的速度，k是已知的常数，阻力的方向与速度方向相反，并且球在着地前已经竖直向下做匀速运动，重力加速度为g.（1）小球刚抛出时加速大小；（2）求球从抛出到着地过程中克服空气阻力做的功；（3）若有一个与上述相同的球从同一地点由静止释放，试比较两球落地所需时间和着地时的速度，并简述理由.
上述两个问题物体在空中运动，由于受到空气阻力作用，物体并不做竖直上抛和自由落体运动.空气阻力与物体运动速度有关，速度越大，阻力就越大.
小球在上升过程中做减速运动，空气阻力随着速度的减小而减小，当速度减至零时，小球只受重力，加速度为重力加速度.接下来进行定量分析，不妨选取竖直向下方向作为正方向，根据牛顿第二定律，建立微分方程
取下落过程讨论，由v（t）=mgk（1-e-kmt）可断定，随着时间的推移，小球速度越来越大并趋近于mgk，但却永远不可能做匀速直线运动，依此分析小球做加速度越来越小的加速运动的时间将是无穷大，只要小球不落至地面.若换个角度考虑，取小球下落过程第1段距离l，对应的运动时间记为t1，取紧接着的第2段相同的距离l，其运动时间记为t2，依此类推……则小球运动的总时间t=t1 t2 t3 …，无穷多个时间相加，那么总时间岂不是为无穷大？基于上述分析，对小球上升过程研究，那么小球岂不是永远到不了最高点？这显然与事实相悖.在此，“阿喀琉斯永远追不上乌龟”的现象出现重演.究其原因，该问题与芝诺佯谬一样，分析犯了逻辑错误：认为无限多项相加应该为无限大，却忽略了这些无穷多项具有收敛性、其总和是一定的.
2.2与机车牵引力有关的收尾速度
例3机车以恒定功率启动，其运动过程分析.
机车启动问题在中学物理中备受青睐，其原因之一是其物理过程是一个典型的变加速运动，对机车启动过程v↑→F↓→a↓的动态分析过程，对训练学生的思维、理解运动过程很有帮助，并且还有一个趋于完美的结论——“速度达到最大后，机车做匀速直线运动”.
2.3与洛伦兹力有关的收尾速度
例4如图2所示，水平面上放有质量m，带电 q的滑块，滑块和水平面之间的动摩擦因数为μ.水平面所在位置有场强大小为E、方向水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场.若μ
问题产生了，两种求解结果并不相等，问题出在哪？对滑块的运动过程细致分析，运动情况与前文中讨论的小球运动和机车启动类似，在此同样存在一个滑块由做变加速运动至刚好脱离水平面的过程，微分方程的求解结果反映了速度渐变的过程，且速度趋近于v=mgqB，这一过程看似会一直持续下去，那么滑块将永远不能离开水平面.当然，这种思考同样还是犯了芝诺佯谬中的错误.微元法和微分方程法本身求解实际上都不存在错误，只要时间t=mμqBlnqEqE-μmg时，则微分方程求解结果便等于微元法的结果了.
2.4与安培力有关的收尾速度
例5如图3所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计.匀强磁场与导轨平面垂直.阻值为R的导体棒垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好.t=0时，将开关S由1掷到2.q、i、v和a分别表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度和加速度.下列图象（图4）正确的是
导体棒在匀强磁场中运动时发生了电磁感应现象，产生了感应电流，导体棒受到了安培力作用，继而又影响了运动，导体棒做变加速运动.设磁感应强度为B，导轨间间距为L，导体棒质量为m，对开关S由1掷2后导体棒运动过程分析，根据牛顿第二定律
导体棒做加速度越来越小的加速运动，直至动生电动势大小与电容器初始时的电压E相等，最终导体棒做匀速直线运动，此时速度、加速度、电流、电荷量为定值.各物理量随时间呈现指数衰减变化规律，若时间取足够大，则函数值便趋于某定值，即
这又是一个物体似乎永远不可能最终做匀速直线运动的例子，作类似上述例子分析，其实仍然属于芝诺佯谬的表现.
3结语
佯谬问题在科学发展史上对物理学的发展起着重要的推动作用，如物理学上著名的佯谬有“落体佯谬”，“双生子佯谬”，“EPR佯谬”，“薛定谔猫”等，这些佯谬的出现往往昭示着原有理论体系内部存在着逻辑矛盾，暴露出原有理论体系的非科学性和局限性，它能诱发人们对旧理论的深层思考，并极大激励和启迪人们开始探索一个新的物理学领域.每一个佯谬的提出和解决往往孕育着新理论的诞生.中学物理教学过程中，适当地提出一些基于学生的最近发展区的联系教学实际的佯谬问题，对学生而言充满了新奇而挑战性，可以激发学生思考的积极性，学生可以通过查阅资料、设计实验、思维辩证讨论等多种形式试图去解决问题，这有利于学生自主学习思考能力的改善、科学素养的培养和团队协作能力的提高.