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在高考《数列》复习课中，经常会遇到数列求通项，求前n项和的问题，而求通项是进一步数列求和，解答其它问题的前奏，是关键.从给出的已知条件看，求数列通项常有以下类型：
1. 已知数列{an}前n项和Sn,求通项an
例1 已知数列{an}中，Sn=n2+2n,求通项an
分析：分类讨论再合并，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+2n）-［(n-1)2+2(n-1)］=2n+1,当n=1时，a1=S1=3也适合上式，
所以，an=2n+1.(n∈N*)
点评：当已知Sn时，应讨论，当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1，再考虑是否能合并.
2. 已知Sn与an混合式，求通项an
例2 已知数列{an}中，a1=2，naa+1=Sn+n(n+1),求通项an
分析：Sn转化为an+1和an，构造特殊(等差或等比)数列求通项.
因为 nan+1=Sn+n(n+1) （1）
所以 (n-1)an=Sn-1+(n-1)n (n≥2) （2）
（1）-（2）得nan+1-(n-1)an=an+2n
即an+1-an=2 （n≥2)
又a2=S1+1×2=a1+2=4,则a2-a1=2
所以{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，an=2n.
点评：当已知Sn与an混合式时，常由已知写出相邻式子作差，从而，构造出特殊数列求通项.
3. 已知递推公式，用累加法或迭代法求通项an
例3 已知数列{an}中，a1=2，an+1=an-1n(n+1)，求通项an
分析：由an+1=an-1n(n+1)可得an+1-an=-1n(n+1)=-1n-1n+1
所以 a2-a1=-1-12，a3-a2=-12-13，a4-a3=-13-14，……
an-an-1=-1n-1-1n,这n-1个式子累加得
an-a1=-1-1n
从而an=2-1-1n=1+1n(n∈N*)
点评：形如an+1-an=f(n)常用累加法或迭代法求通项an.
4. 已知递推公式，用累乘法求通项an
例4 已知数列{an}中，a1=1，nan+1-（n+2）an=0,求通项an
分析：由已知得an+1an=n+2n，所以
a2a1=31,a3a2=42,a4a3=53,……,anan-1=n+1n-1
这n-1个式子相乘得ana1=n(n+1)1x2，又a1=1
从而an=n(n+1)2(n∈N*)
点评：形如an+1an=f(n)常用累乘法求通项.
5. 已知递推公式，用待定系数法或构造法求通项an
例5 已知数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2，求通项an
分析：由已知令(an+1-t)=3(an-t),则an+1=3an-2t,
又已知an+1=3an+2，所以-2t=2,t=-1
所以已知变为(an+1+1)=3（an+1），从而数列{an+1}是3为公比，首项为a1+1=2的等比数列，
所以，an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1(n∈N*)
点评：形如an+1=ran+s(r,s是常数)的递推公式求通项，常用待定系数法，构造出以r为公比得等比数列，然后求通项.
例6 已知数列{an}中，a1=0，an+1=2an+3n,求通项an
分析：an+1=2an+3n可化为an+1+p(n+1)+q=2(an+pn+q)
即an+1=2an+pn+q-p 又an+1=2an+3n
所以，p=3,q-p=0,即p=q=3,故已知化为
an+1+3(n+1)+3=2(an+3n+3)
从而数列{an+3n+3}是以2为公比，a1+3×1+3=6为首项的
等比数列，所以an+3n+3=6×2n-1
即an=6×2n-1-3n-3(n∈N*)
点评：形如an+1=ran+f(n)(r为常数)递推公式求通项，常用待
定系数法，构造出以r为公比得等比数列，然后求通项.
变式练习：已知数列{an}，据给出的条件求数列通项an
（1） Sn=3×2n-3+n,(an=3×2n-1+n)
（2） Sn=3an+2an=-32n-1
（3） a1=2，a2=3，2an+1=3an-an-1(n≥2)an=4-12n-2
（4） a1=13，Sn+1-Sn=13an=13n
（5） a1=52，an+1=2an-1（an=3×2n-2+1）
1. 已知数列{an}前n项和Sn,求通项an
例1 已知数列{an}中，Sn=n2+2n,求通项an
分析：分类讨论再合并，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+2n）-［(n-1)2+2(n-1)］=2n+1,当n=1时，a1=S1=3也适合上式，
所以，an=2n+1.(n∈N*)
点评：当已知Sn时，应讨论，当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1，再考虑是否能合并.
2. 已知Sn与an混合式，求通项an
例2 已知数列{an}中，a1=2，naa+1=Sn+n(n+1),求通项an
分析：Sn转化为an+1和an，构造特殊(等差或等比)数列求通项.
因为 nan+1=Sn+n(n+1) （1）
所以 (n-1)an=Sn-1+(n-1)n (n≥2) （2）
（1）-（2）得nan+1-(n-1)an=an+2n
即an+1-an=2 （n≥2)
又a2=S1+1×2=a1+2=4,则a2-a1=2
所以{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，an=2n.
点评：当已知Sn与an混合式时，常由已知写出相邻式子作差，从而，构造出特殊数列求通项.
3. 已知递推公式，用累加法或迭代法求通项an
例3 已知数列{an}中，a1=2，an+1=an-1n(n+1)，求通项an
分析：由an+1=an-1n(n+1)可得an+1-an=-1n(n+1)=-1n-1n+1
所以 a2-a1=-1-12，a3-a2=-12-13，a4-a3=-13-14，……
an-an-1=-1n-1-1n,这n-1个式子累加得
an-a1=-1-1n
从而an=2-1-1n=1+1n(n∈N*)
点评：形如an+1-an=f(n)常用累加法或迭代法求通项an.
4. 已知递推公式，用累乘法求通项an
例4 已知数列{an}中，a1=1，nan+1-（n+2）an=0,求通项an
分析：由已知得an+1an=n+2n，所以
a2a1=31,a3a2=42,a4a3=53,……,anan-1=n+1n-1
这n-1个式子相乘得ana1=n(n+1)1x2，又a1=1
从而an=n(n+1)2(n∈N*)
点评：形如an+1an=f(n)常用累乘法求通项.
5. 已知递推公式，用待定系数法或构造法求通项an
例5 已知数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2，求通项an
分析：由已知令(an+1-t)=3(an-t),则an+1=3an-2t,
又已知an+1=3an+2，所以-2t=2,t=-1
所以已知变为(an+1+1)=3（an+1），从而数列{an+1}是3为公比，首项为a1+1=2的等比数列，
所以，an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1(n∈N*)
点评：形如an+1=ran+s(r,s是常数)的递推公式求通项，常用待定系数法，构造出以r为公比得等比数列，然后求通项.
例6 已知数列{an}中，a1=0，an+1=2an+3n,求通项an
分析：an+1=2an+3n可化为an+1+p(n+1)+q=2(an+pn+q)
即an+1=2an+pn+q-p 又an+1=2an+3n
所以，p=3,q-p=0,即p=q=3,故已知化为
an+1+3(n+1)+3=2(an+3n+3)
从而数列{an+3n+3}是以2为公比，a1+3×1+3=6为首项的
等比数列，所以an+3n+3=6×2n-1
即an=6×2n-1-3n-3(n∈N*)
点评：形如an+1=ran+f(n)(r为常数)递推公式求通项，常用待
定系数法，构造出以r为公比得等比数列，然后求通项.
变式练习：已知数列{an}，据给出的条件求数列通项an
（1） Sn=3×2n-3+n,(an=3×2n-1+n)
（2） Sn=3an+2an=-32n-1
（3） a1=2，a2=3，2an+1=3an-an-1(n≥2)an=4-12n-2
（4） a1=13，Sn+1-Sn=13an=13n
（5） a1=52，an+1=2an-1（an=3×2n-2+1）