动力系统的研究起源于十九世纪八十年代法国数学家H.Poincare在1881年到1886年期间连续发表的论文《微分方程所确定的曲线》所创立的微分方程定性理论,或者称微分方程的几何理论。函数的迭代和迭代根是动力系统的重要组成部分,也是比较古老的问题。早在一百多年以前, Babbage, Abel, Schroder就开始研究映射的迭代以及迭代根。近年来,随着自然科学技术的进步,迭代和迭代根问题也随之不断地发展,深刻地影响着自然科学与工程技术的发展。在第一章中,我们简要地介绍了拓扑动力系统的发展现状及本文的写作背景和研究的主要内容。在第二章中,我们给出了迭代方面的基本定义,介绍了一次函数、二次函数、高次函数以及线性分式等函数的n次迭代式一些进展。在此基础上我们给出来特定的二次函数、高次函数以及线性分式等函数的n次迭代式。还介绍了函数迭代的一些基本理论与应用。在第三章中,我们介绍了迭代根、迭代方程的一些基本理论,介绍了单调函数、逐段单调函数迭代根的进展,以及二次多项式型方程和一般多项式型方程的解的一些性质。在第四章中,首先总结了本文的结论,然后分析了研究中存在的问题及以后的研究方向。