【摘 要】
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泛函微分方程（FDEs）在自动控制、生物学、医学、化学、人口学、经济学等众多领域有着广泛应用，其理论和算法研究具有无可置疑的重要性，近三十年来，Volterra泛函微分方程（VFDEs），特别是其重要子类——延迟微分方程（DDEs）的算法理论研究得到了众多学者的高度关注，取得了大量研究成果．例如在DDEs数值方法线性稳定性研究领域，Barwell、Watanabe、Zennaro、Spijker、
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泛函微分方程（FDEs）在自动控制、生物学、医学、化学、人口学、经济学等众多领域有着广泛应用，其理论和算法研究具有无可置疑的重要性，近三十年来，Volterra泛函微分方程（VFDEs），特别是其重要子类——延迟微分方程（DDEs）的算法理论研究得到了众多学者的高度关注，取得了大量研究成果．例如在DDEs数值方法线性稳定性研究领域，Barwell、Watanabe、Zennaro、Spijker、in’t Hout、Bellen、Jackiewicz、刘明珠、匡蛟勋、田红炯、张诚坚及胡广大等人作了大量工作，其中主要成果可参见Bellen和Zennaro及匡蛟勋的专著；DDEs数值方法非线性稳定性研究始于1989年Torelli及1992年Bellen和Zennaro的工作，1999年，黄乘明、李寿佛等人在BIT发表的论文指出Torelli稳定性是一个仅有极少数低阶方法才能满足的过于苛刻的概念，并提出了一个新的更为合理的稳定性概念，在此基础上，使得DDEs数值方法非线性稳定性研究得以蓬勃发展。尽管当时的研究仍局限于常延迟、等步长、线性插值及负的Lipschitz常数，但研究对象几乎遍及包括线性多步法和Runge-Kutta方法在内的一切常用算法，获得了大量新的数值稳定性结果。VFDEs数值方法的基于经典Lipschitz条件的收敛性研究已获得大量成果，例如可参见李寿佛1997年的专著，关于DDEs数值方法的经典收敛性研究可参见Oberle、Pesch、Bellen、Zennaro、Tavernini、Arndt、Enright、Feldstein、Neves、Karoui、Vaillancourt、Baker和Paul等人的工作。然而这些收敛性理论仅适用于非刚性问题，不适用于刚性问题。非线性刚性DDEs数值方法的收敛性研究始于张诚坚等人1997的工作，他们提出了Runge-Kutta方法的D-收敛概念，并证明了若干隐式Runge-Kutta方法能满足这一要求。其后，黄乘明等人从他们提出的新的更为合理的数值稳定性概念出发，获得了关于隐式Runge-Kutta方法和一般线性方法的大量D-收敛性结果，近年来，李寿佛在《中国科学》等刊物上发表一系列论文，进一步建立了一般的非线性刚性VFDEs的稳定性理论及其数值方法（包括Runge-Kutta方法和一般线性方法）的B-稳定性与B-收敛性理论，后者统称为数值方法的B-理论，可视为Dahlquist、Butcher、Frank及李寿佛等人所建立的刚性常微分方程数值方法的B-理论的进一步推广，应当指出，这里所建立的新理论比文献中已有的理
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对于非线性扩散占优Volterra型偏泛函微分方程的时间离散化,以往最常用的方法是Volterra泛函微分方程（VFDE）的隐式Euler方法及梯形方法,有时候也使用隐式中点法及Bellen和Zennaro所建议的二级Lobatto IIIC Runge-Kutta方法。为了避免出现Bellen和Zennaro所指出的“order failure”和“stability failure”现象,本文
分数微分方程（Fractional Differential Equations）在许多学科领域有广泛的应用,这些学科领域的许多数学模型都是用分数微分方程来描述的.近十年来,分数微分方程边值问题得到了迅速的发展.随着这一方向研究的进一步深入,研究内容和研究方法不断得到丰富,非线性分数微分方程边值问题获得了许多研究成果.本文主要研究非线性分数微分方程边值问题解的存在性.本文由四章组成,主要内容如下：
本文研究二维各向异性Delaunay三角化网格的生成与优化算法及其应用.当物体在不同方向上的变化速率不同时,例如树木向上生长与横向生长的速率是不同的,我们称其具有各向异性性质.各向异性问题在各向异性晶体材料、多孔介质、石油工程、粘性流模拟、图像处理等科学工程计算中有着广泛的应用.给出一个各向异性问题,进行有限元数值求解时,合适的网格剖分至关重要,选择符合各向异性特征的三角化网格是自然而然的想法.各
有限体积法由于能保持某些物理量（如质量、能量等）的局部守恒性,它已成为一种广泛应用于科学与工程计算领域的重要数值方法.有限体元（FVE）法是一种重要的有限体积法,虽然对它已有大量的研究工作,但仍存在许多需要研究的问题.ICF问题描述的是一种聚变等离子体流体力学问题,其中三温辐射热传导方程的数值求解在该问题的数值模拟中占有主要工作量,因此,对该类问题的有限体元格式及其快速算法进行研究,是一项具有重要
本文主要对Schro（?）dinger方程保持质量守恒的DDG（directdiscontinuousGalerkin）方法进行了研究.在第三章,对线性一维及二维Schro（?）dinger方程的守恒数值流进行了选取,对于其半离散格式和全离散格式进行了守恒性分析.其中,在空间离散上采用DDG方法,在时间离散上采用Crank-Nicolson格式.数值实验表明,对于k次元逼近能得到k+1阶精度,而且
代数多层网格（AMG）法和区域分解法（DDM）是国际上流行的两类求解大规模偏微分方程（PDEs）离散化系统的快速方法.目前,对于求解复杂PDEs离散化系统的AMG法和DDM,还有许多需要进一步研究的问题.本文针对两类具有广泛应用背景的PDEs离散化系统,研究其高效（并行）AMG法和DDM,主要工作如下：针对一种关于三温辐射扩散方程离散化系统的代数两层预条件子B01,测试并分析了相应的PGMRES法
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