时滞差分方程和偏差分方程出现在许多重要的应用领域，包括种群动力学，化学反应，电子网络，数学物理问题以及微分方程数值方法。近十年来，时滞差分方程和偏差分方程的振动理论得到了迅速的发展．随着这一方向研究的进一步深入，研究内容和研究方法不断得到丰富，无论是线性问题还是非线性问题都获得了许多研究成果。 本文主要研究线性和非线性时滞差分方程、偏差分方程和函数方程的振动性、正解的存在性、渐近性和分类。本文由六章组成，主要内容如下： 第一章概述时滞差分方程和偏差分方程振动性的研究背景和发展状况，并简要介绍本文的主要工作。这一章也包括一些预备知识，如时滞差分方程振动理论的有关基本概念、有限差分计算的基本公式和一些重要的不动点定理。 第二章建立了一阶具有变时滞的差分方程的振动准则。我们的结果改进和推广了文献中的许多已有结果；并且，首次研究了时滞差分方程振动解的半环估计问题。 第三章给出了二阶拟线性差分方程振动和非振动的条件；对于二阶非线性中立型方程，给出了非振动解的一种完整分类和每类非振动解的存在条件。 第四章首先研究高阶线性差分方程，获得了所有解振动的一系列充分条件；对于高阶中立型差分方程建立了三个重要的比较定理；获得了带强迫项的非线性中立型差分方程正解存在的一个全局结果，改进了已有文献中的许多结果。最后，我们对超线性和次线性中立型方程的非振动解按其渐近性质进行了完整的分类，并给出了每类非振动解存在的充分必要条件。 第五章首先研究时滞偏差分方程在临界情形的振动性和中立型偏差分方程正解的非存在性，并举例加以说明。在偏差分方程的振动理论中，正解的存在性是一个相当困难的问题。本章在这一领域作了深入的研究。我们使用Krasnoselskii不动点定理、Knaster不动点定理和Shander不动点定理和分析技巧，获得了线性和非线性高阶中立型偏差分方程正解存在的几类充分条件。 第六章讨论一元和二元函数方程，建立了这类方程振动的一系列”sharp”条件。