本文主要考虑了几类强非线性椭圆问题解的存在性及正则性问题.本文共有六章：第一章是绪论,主要介绍了本文的研究背景,研究的问题以及得到的主要结论.第二章是预备知识,介绍了后面章节将会用到的基本不等式,非线性分析知识以及椭圆方程的一些重要结论.第三章,我们在有界区域上研究了如下拟线性Schrodinger方程其中Ω为RN(N≥3)中的有界区域.在第一节,我们考虑非线性项f(x,u)含有一个奇异项和一个任意增长的凸项时正解的存在性,通过临界点理论,截断技巧和上下解方法得到了正解的多重性.在第二节,我们利用Morse理论,截断技巧和一个抽象的临界点定理,得到问题(3.1)至少有三个解或者无穷多解.第二节的结论可以看做对Zhang等[122],Zhou和Wu[124]以及Liu和Zhao[93]结论的推广在[122]和[124]中,作者考虑的是p=2的情形,而在Liu和Zhao[93]仅得到了该问题有两个解.第四章,我们考虑如下p-Kirchhoff方程正解的存在性其中Ω∈RN(N≥3)为有界光滑区域,M,f和g为连续函数.通过山路引理和迭代技巧获得了一个正解.第五章,我们考虑了如下椭圆问题多重正解的存在性：其中Ω (?) RN(N ≥ 3)是有界区域并且边界aQ是光滑的,0<q<1<s<2*-1≤p,2*：=2N/(n-1),λ和μ是非负参数.利用变分方法,截断技巧和Moser迭代,我们得到如果λ和μ足够小,则此问题至少有两个正解.第六章,在Orlicz-Sobolev空间中建立一类自由边界问题极小化子的正则性.通过建立极小化问题与方程强解问题的等价性,.我们建立二相障碍问题极小化子的存在唯一性及C1，α-正则性,最后建立极小化子在自由边界附近的非退化性.