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[摘 要]数学教学中，通过以退促进、以体验促理解、以对话促转化、以变式促巩固等策略，帮助学生正确利用缄默知识，实现核心知识的内化。
[关键词]数学教学 缄默知识 核心知识 教学策略 体验 理解 转化 巩固
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）14-035
数学核心知识，是指在数学课程和教材中具有内在逻辑的连贯性和一致性，处于不可或缺的、重要的和主干地位的基础知识。缄默知识由英国思想家波兰尼提出，指无法系统表述的知识。缄默知识难于表达、陈述，但它为人的认识活动提供最终的解释性框架和知识信念。所有显性知识的增长、应用和理解都依赖于缄默知识，因此，显性知识植根于缄默知识。
作为教师，需要认识到学生是拥有大量缄默知识的。学生学习数学的过程，也就是其显性知识与缄默知识进行丰富、转换、提升的过程。小学阶段的数学核心知识包含缄默知识，也就是说，在小学数学学习的某一阶段，核心知识是以缄默的状态被学生拥有的。下面，笔者从缄默知识的视角，对数学核心知识的教学进行初步的尝试和探索。
一、以退促进，使核心知识在退中生长
1.“退”到学生的生活经验
《数学课程标准》指出：“数学教学应紧密联系学生的生活实际，从学生已有的基础知识和生活经验出发。”因此，教师应准确把握学生已有的经验和知识，以此为助力开展教学，使学生获得核心的知识。学生进入课堂前不是一张白纸，而是已经储备了许多前数学经验，这对于他们掌握和理解数学核心概念具有积极的促进意义。如“认识平均数”一课的教学，平均数这一核心概念所涵盖的内容包括平均数的计算及其意义。平均数的计算方法、公式是显性知识，平均数所蕴含的公平合理、互相平摊、不多不少、不偏不倚的数学思想则是缄默知识，因此教师在教学中应唤醒学生已有的生活经验。课始，教师可说：“比赛中，男生组5人的总成绩是455分，女生组4人的总成绩为372分，男生组获胜。”这时有学生立刻提出反对意见，教师可在学生的讨论中引出公平的比较方法——比较平均数。这些带有数学元素的生活经验，是教师进行核心知识教学时有待激活的思维生长点。
2.“退”到学生的已有认知
奥苏伯尔认为：“学习者认知结构中具有同化新知识的原有知识基础，才能开始有意义的学习。”这说明，已有的缄默知识将支撑学生对核心知识的理解。例如，教学“三位数乘两位数”一课时，教师可先通过复习两位数乘两位数的计算，激活学生的已有认知，再让学生尝试计算三位数乘两位数。又如，教学“小数乘法的简便计算”时，先让学生进行整数乘法的简便运算，再将运算律扩充到小数领域。这样教学，使学生在原有认知的基础上，实现了核心知识的自然生长。
3.“退”到学生的思维起点
研究表明：在构建某一显性知识时，是由学生自主选择、组织所需要的缄默知识的。这就意味着教师应从学生的思维起点入手，协助学生找寻可利用的缄默知识。如教学“平行四边形”一课时，教师可先让学生说说从平行四边形的名称中想到了什么，使学生从图形名称的思考上初步了解平行四边形的特征。此外，教师还应在学生的思维起点处，辨别学生已有的缄默知识对理解核心知识会造成怎样的影响，或去芜存菁，或因势利导。
二、以体验促理解，使核心知识在体验中厘清
1.在情境中体验
核心知识的教学，既是传递、掌握显性知识的过程，又是检验、修正、应用缄默知识的过程。缄默知识不是孤立存在的，总是依附于情境，与一定的情境相联系。因此，教师应通过具体的教学情境，促进学生的显性知识与缄默知识不断丰富和转化。例如，教学“间隔排列的规律”一课时，教师可通过创设情境，让学生理解“兔比蘑菇多1个”“夹子比手帕多1个”等内容，并思考“1是怎么多出来的”等问题，促进学生对规律的理解。又如，在“认识11～20各数”的教学中，教师先创设情境“评比表中的一栏只能放下9朵小红花”，激活学生已有的“10朵小红花换作1朵大红花”的缄默知识，接着迁移至“原始人类用1块大石头替换10块小石头”的计数，使学生产生10根小棒换大棒的想法，所谓的大棒就是10根小棒捆成1捆。这样教学，使学生在情境中凭借缄默知识，自然地理解了位值的改变与升级。
2.在实践中体验
《数学课程标准》倡导：“数学教学应为学生提供充分从事数学活动的机会。”核心知识与内隐的思想方法的一致性、缄默知识的实践特性，决定了学生只有在实践中构建知识，学习方能得到完善。例如，教学“认识千克”一课时，教师通过称、掂、比等实践活动，帮助学生建立1千克的实际观念。又如，教学“认识升与毫升”一课时，教师先让学生猜测1升水倒入雪碧瓶中能否装得下，再让学生将1升水与果汁瓶的容量比大小，判断容器的容量是与1升同样多，还是比1升多或少。最后让学生动手实验并进行验证，交流结果。通过实践活动，学生逐步形成对1升的感悟。
三、以对话促转化，使缄默知识在对话中外显
1.师生对话
缄默知识外显化，可促进学生对核心知识的理解。课堂教学中，可以通过师生对话、交流讨论等方式，实现缄默知识的外显化。在对话过程中，伴随着每个学生个性化见解的表述，他所拥有的缄默认识的立场、观点也随之“流淌”出来，能够被自己同时也被他人所认识和理解，并在此基础上开展批判、检讨、修正和利用。例如，教学“认识平面图形”一课时，在教师总结“像这样有四条边的图形是四边形”后，再让学生自己尝试总结“有五条边的图形是五边形”“有六条边的图形是六边形”。这时，有学生问道：“有七条边的图形是七边形，有八条边的图形是八边形？”“那有一百条边的图形就是一百边形？可一百边形就很像一个圆了。”……在师生宽松、自由的对话中，学生的缄默知识得以显现，既加深了他们对核心知识的理解，又丰富了学生的认知。
2.生生交流
在核心知识的建构过程中，不同学生相关的缄默知识的质量、构成、属性等不完全相同，所以不同学生的学习效果在程度、方向和性质上都不尽相同。但借助交流合作，每个人把自己有关的缄默知识显性化地传达出来，将各种缄默知识经过比较、分析、选择、整理、组合或融合后，就可能使问题得到解决。例如，教学“圆的周长”一课时，教师让学生通过小组合作学习，利用提供的材料测量不同大小的圆的周长，这合作的过程是学生缄默知识显现、交流的过程。
3.自我反省
在核心知识的学习活动中，教师还可以让学生通过自我反省的内部对话形式，回顾学习历程，分析缄默知识显性化的过程，提高自我分析学习行为的能力，进而助推元认知能力的发展。在课堂教学中，教师可以让学生适时回顾：“我们学习了什么，是怎样学习的？探索了什么，是怎样探索的？得到了什么规律，是怎样获得的？”通过对缄默知识的反省，并对它的内部结构进行调整、修改、提升，使学生形成更高水平的数学直觉，加深对核心知识的理解。
四、以变式促巩固，优化缄默知识的影响
缄默知识对核心知识的影响具有双重性，既可能对知识的形成起促进作用，又可能对知识的形成起阻碍和干扰的作用。这就需要教师在教学过程中植入变式练习，以突显知识的本质属性，避免缄默知识在知识形成中所起的负面影响。教师在核心知识的教学中，可设计一定数量的变式练习，利用变式练习展现核心知识的本质属性与非本质属性，帮助学生领会知识的要义，修正对核心知识有干扰作用的缄默知识，优化学生已有的缄默知识的结构，使学生清晰、牢固地掌握核心知识。
总之，教师在进行教学设计、实施教学的过程中，应从缄默知识的视角出发，正视、巧用学生已有的缄默知识，使学生真正理解所学知识。
（责编 杜 华）
[关键词]数学教学 缄默知识 核心知识 教学策略 体验 理解 转化 巩固
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）14-035
数学核心知识，是指在数学课程和教材中具有内在逻辑的连贯性和一致性，处于不可或缺的、重要的和主干地位的基础知识。缄默知识由英国思想家波兰尼提出，指无法系统表述的知识。缄默知识难于表达、陈述，但它为人的认识活动提供最终的解释性框架和知识信念。所有显性知识的增长、应用和理解都依赖于缄默知识，因此，显性知识植根于缄默知识。
作为教师，需要认识到学生是拥有大量缄默知识的。学生学习数学的过程，也就是其显性知识与缄默知识进行丰富、转换、提升的过程。小学阶段的数学核心知识包含缄默知识，也就是说，在小学数学学习的某一阶段，核心知识是以缄默的状态被学生拥有的。下面，笔者从缄默知识的视角，对数学核心知识的教学进行初步的尝试和探索。
一、以退促进，使核心知识在退中生长
1.“退”到学生的生活经验
《数学课程标准》指出：“数学教学应紧密联系学生的生活实际，从学生已有的基础知识和生活经验出发。”因此，教师应准确把握学生已有的经验和知识，以此为助力开展教学，使学生获得核心的知识。学生进入课堂前不是一张白纸，而是已经储备了许多前数学经验，这对于他们掌握和理解数学核心概念具有积极的促进意义。如“认识平均数”一课的教学，平均数这一核心概念所涵盖的内容包括平均数的计算及其意义。平均数的计算方法、公式是显性知识，平均数所蕴含的公平合理、互相平摊、不多不少、不偏不倚的数学思想则是缄默知识，因此教师在教学中应唤醒学生已有的生活经验。课始，教师可说：“比赛中，男生组5人的总成绩是455分，女生组4人的总成绩为372分，男生组获胜。”这时有学生立刻提出反对意见，教师可在学生的讨论中引出公平的比较方法——比较平均数。这些带有数学元素的生活经验，是教师进行核心知识教学时有待激活的思维生长点。
2.“退”到学生的已有认知
奥苏伯尔认为：“学习者认知结构中具有同化新知识的原有知识基础，才能开始有意义的学习。”这说明，已有的缄默知识将支撑学生对核心知识的理解。例如，教学“三位数乘两位数”一课时，教师可先通过复习两位数乘两位数的计算，激活学生的已有认知，再让学生尝试计算三位数乘两位数。又如，教学“小数乘法的简便计算”时，先让学生进行整数乘法的简便运算，再将运算律扩充到小数领域。这样教学，使学生在原有认知的基础上，实现了核心知识的自然生长。
3.“退”到学生的思维起点
研究表明：在构建某一显性知识时，是由学生自主选择、组织所需要的缄默知识的。这就意味着教师应从学生的思维起点入手，协助学生找寻可利用的缄默知识。如教学“平行四边形”一课时，教师可先让学生说说从平行四边形的名称中想到了什么，使学生从图形名称的思考上初步了解平行四边形的特征。此外，教师还应在学生的思维起点处，辨别学生已有的缄默知识对理解核心知识会造成怎样的影响，或去芜存菁，或因势利导。
二、以体验促理解，使核心知识在体验中厘清
1.在情境中体验
核心知识的教学，既是传递、掌握显性知识的过程，又是检验、修正、应用缄默知识的过程。缄默知识不是孤立存在的，总是依附于情境，与一定的情境相联系。因此，教师应通过具体的教学情境，促进学生的显性知识与缄默知识不断丰富和转化。例如，教学“间隔排列的规律”一课时，教师可通过创设情境，让学生理解“兔比蘑菇多1个”“夹子比手帕多1个”等内容，并思考“1是怎么多出来的”等问题，促进学生对规律的理解。又如，在“认识11～20各数”的教学中，教师先创设情境“评比表中的一栏只能放下9朵小红花”，激活学生已有的“10朵小红花换作1朵大红花”的缄默知识，接着迁移至“原始人类用1块大石头替换10块小石头”的计数，使学生产生10根小棒换大棒的想法，所谓的大棒就是10根小棒捆成1捆。这样教学，使学生在情境中凭借缄默知识，自然地理解了位值的改变与升级。
2.在实践中体验
《数学课程标准》倡导：“数学教学应为学生提供充分从事数学活动的机会。”核心知识与内隐的思想方法的一致性、缄默知识的实践特性，决定了学生只有在实践中构建知识，学习方能得到完善。例如，教学“认识千克”一课时，教师通过称、掂、比等实践活动，帮助学生建立1千克的实际观念。又如，教学“认识升与毫升”一课时，教师先让学生猜测1升水倒入雪碧瓶中能否装得下，再让学生将1升水与果汁瓶的容量比大小，判断容器的容量是与1升同样多，还是比1升多或少。最后让学生动手实验并进行验证，交流结果。通过实践活动，学生逐步形成对1升的感悟。
三、以对话促转化，使缄默知识在对话中外显
1.师生对话
缄默知识外显化，可促进学生对核心知识的理解。课堂教学中，可以通过师生对话、交流讨论等方式，实现缄默知识的外显化。在对话过程中，伴随着每个学生个性化见解的表述，他所拥有的缄默认识的立场、观点也随之“流淌”出来，能够被自己同时也被他人所认识和理解，并在此基础上开展批判、检讨、修正和利用。例如，教学“认识平面图形”一课时，在教师总结“像这样有四条边的图形是四边形”后，再让学生自己尝试总结“有五条边的图形是五边形”“有六条边的图形是六边形”。这时，有学生问道：“有七条边的图形是七边形，有八条边的图形是八边形？”“那有一百条边的图形就是一百边形？可一百边形就很像一个圆了。”……在师生宽松、自由的对话中，学生的缄默知识得以显现，既加深了他们对核心知识的理解，又丰富了学生的认知。
2.生生交流
在核心知识的建构过程中，不同学生相关的缄默知识的质量、构成、属性等不完全相同，所以不同学生的学习效果在程度、方向和性质上都不尽相同。但借助交流合作，每个人把自己有关的缄默知识显性化地传达出来，将各种缄默知识经过比较、分析、选择、整理、组合或融合后，就可能使问题得到解决。例如，教学“圆的周长”一课时，教师让学生通过小组合作学习，利用提供的材料测量不同大小的圆的周长，这合作的过程是学生缄默知识显现、交流的过程。
3.自我反省
在核心知识的学习活动中，教师还可以让学生通过自我反省的内部对话形式，回顾学习历程，分析缄默知识显性化的过程，提高自我分析学习行为的能力，进而助推元认知能力的发展。在课堂教学中，教师可以让学生适时回顾：“我们学习了什么，是怎样学习的？探索了什么，是怎样探索的？得到了什么规律，是怎样获得的？”通过对缄默知识的反省，并对它的内部结构进行调整、修改、提升，使学生形成更高水平的数学直觉，加深对核心知识的理解。
四、以变式促巩固，优化缄默知识的影响
缄默知识对核心知识的影响具有双重性，既可能对知识的形成起促进作用，又可能对知识的形成起阻碍和干扰的作用。这就需要教师在教学过程中植入变式练习，以突显知识的本质属性，避免缄默知识在知识形成中所起的负面影响。教师在核心知识的教学中，可设计一定数量的变式练习，利用变式练习展现核心知识的本质属性与非本质属性，帮助学生领会知识的要义，修正对核心知识有干扰作用的缄默知识，优化学生已有的缄默知识的结构，使学生清晰、牢固地掌握核心知识。
总之，教师在进行教学设计、实施教学的过程中，应从缄默知识的视角出发，正视、巧用学生已有的缄默知识，使学生真正理解所学知识。
（责编 杜 华）