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万有引力和天体运动是高中物理重要的知识点，是高考考查的重点，天体运动是近年来的考查重点连续几年都考查.卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，高考命题常以新情境来考查，而且经常与其他知识综合出题.对此类问题的求解，除了要透彻理解基本概念，熟练运用公式外，挖掘题中隐含着的重要条件，从而准确列出方程.下面几种情况是在实际教学中学生易犯的错误，归纳如下.
一、错误地认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同
例1某卫星沿椭圆轨道绕行星运行，近地点离行星中心的距离是a，远地点离行星中心的距离为b，若卫星在近地点的速率为va，则卫星在远地点时的速率vb多少？
错解：卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有GMma2=mv2aa，在远地点时有GMmb2=mv2bb，上述两式相比得vavb=ba，故vb=abv.
分析纠错：以上错误在于认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同.实际做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于R.所以，在近地点时有GMma2=mv2aR，在远地点时有GMmb2=mv2bR，上述两式相比得VaVb=ba，故vb=abv.
二、利用错误方法求卫星运动的加速度的大小
图1例2发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图1所示.则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（）
（A） 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
（B） 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
（C） 卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
（D） 卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度.
错解：因为GMmr2=mrω2=mv2r，所以v=GMr，ω=GMr3，即（B）选项正确，（A）选项错误.
因为卫星在轨道1上经过Q点时的速度等于它在轨道2上经过Q点时的速度，而在Q点轨道的曲率半径r1a2=v2r2，即（C）选项正确.
分析纠错：（B）选项正确，但（C）选项错误.根据牛顿第二定律可得a=Fm=GMr2，即卫星的加速度a只与卫星到地心的距离r有关，所以（C）选项错误，（D）选项正确.
三、错误认为卫星克服阻力做功后，卫星轨道半径将变大
例3一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现（）
（A） 速度变小 （B） 动能增大
（C） 角速度变小 （D） 半径变大
错解：当卫星受到阻力作用时，由于卫星克服阻力做功，故动能减小，速度变小，为了继续环绕地球运动，由于卫星速度v=GMr可知，v减小则半径r必增大，又因ω=vr，故ω变小，可见应该选（A）、（C）、（D）.
分析纠错：当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，卫星必定只能降至低轨道上飞行，故r减小.由v=GMr可知，v要增大，动能、角速度也要增大.可见只有B选项正确.
四、混淆稳定运动和变轨运动
图2例4如图2所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（）
（A） b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
（B） b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
（C） c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c
（D） a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大
错解：c加速可追上b，错选C.
分析纠错：因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等.又b、c轨道半径大于a的轨道半径，由v=GMr知，vb=vcmv2/r， 故它将偏离原轨道做向心运动.所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故（C）选项错.对这一选项，不能用v=GMr来分析b、c轨道半径的变化情况.对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由v=GMr知，r减小时v逐渐增大，故（D）选项正确.五、混淆连续物和卫星群
例5根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群.可测出环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系.下列判断正确的是（）
（A） 若v与R成正比，则环为连续物
（B） 若v2与R成正比，则环为小卫星群
（C） 若v与R成反比，则环为连续物
（D） 若v2与R成反比，则环为小卫星群
错解：选（B）（D）
分析纠错：连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相同，其线速度v与R成正比.而对卫星来讲，其线速度v=GM/R，即v与R的平方根成反比.由上面分析可知，连续物线速度v与R成正比；小卫星群v2与R成反比.故选（A）、（D）.
六、错误理解日地拉格朗日点
图3例6（2012江苏卷第8题）2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家.如图3所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动.则此飞行器的（） （A） 线速度大于地球的线速度
（B） 向心加速度大于地球的向心加速度
（C） 向心力仅由太阳的引力提供
（D） 向心力仅由地球的引力提供
错解：选（C）.
分析纠错：拉格朗日点是指卫星受太阳、地球两大天体引力作用，能保持相对静止的点，共有5个.其中L2点位于日地连线上、地球外侧约150万公里处，在L2点卫星消耗很少的燃料即可长期驻留，是探测器、天体望远镜定位和观测太阳系的理想位置，在工程和科学上具有重要的实际应用和科学探索价值，是国际深空探测的热点.在L2点，轨道周期变得与地球的相等.（A）、（B）正确，（C）、（D）错的原因是引力是由地球和太阳共同提供的.答案：（A）、（B）.
七、错误理解万有引力、向心力和重力三者的关系
对于赤道上的某一个物体，有GMmr2=mg+mv2r 当速度增加时，重力减小，向心力增加，当速度v=GMr（即第一宇宙速度）时，mg=0，物体将“飘”起来，星球处于瓦解的临界状态.
例7某星球可视为球体，自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，求星球的平均密度ρ？
解析：设星球的半径为R，在两极和赤道上的重力加速度分别为g极、g赤.
两极： F万=mg=P（1）
赤道上：F万=mω2R+mg赤 （2）
GMmR2=m4π2T2R+0.9P，所以M=4π2R310GT2，所以ρ=3π10GT2.
例8.如果地球自转速度加快，地球上物体的重量将发生怎样的变化？地球自转角速度等于多少时，在赤道上物体的重量为零？这时一昼夜将有多长？ （R地=6370 km，M地=5.98×1024 kg）
解析：以赤道上的物体为研究对象，设转速为n，则：
F万=mω2R+mg赤，所以GMmR2=m4π2T2R+mg赤.
因为n↑→ω↑→mω2R↑→mg赤↓；设地球自转的角速度为ω0时，mg赤=0，则：
GMmR2=mω20R，
所以ω0=GMR2=6.67×10-11×5.98×1024（6370×103）3
=1.24×10-3 rad/s.
T=2πω0=5067 s.
例9（2010年北京卷）一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上.已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（）
（A） （4π3Gρ）12（B） （34πGρ）12
（C） （πGρ）12（D） （3πGρ）12
解析：赤道表面的物体对天体表面的压力为零，说明天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体转动所需要的向心力，有Gρ43πR3mR2=m（2πT）2R，化简得T=3πρG，答案：（D）.
一、错误地认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同
例1某卫星沿椭圆轨道绕行星运行，近地点离行星中心的距离是a，远地点离行星中心的距离为b，若卫星在近地点的速率为va，则卫星在远地点时的速率vb多少？
错解：卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有GMma2=mv2aa，在远地点时有GMmb2=mv2bb，上述两式相比得vavb=ba，故vb=abv.
分析纠错：以上错误在于认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同.实际做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于R.所以，在近地点时有GMma2=mv2aR，在远地点时有GMmb2=mv2bR，上述两式相比得VaVb=ba，故vb=abv.
二、利用错误方法求卫星运动的加速度的大小
图1例2发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图1所示.则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（）
（A） 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
（B） 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
（C） 卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
（D） 卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度.
错解：因为GMmr2=mrω2=mv2r，所以v=GMr，ω=GMr3，即（B）选项正确，（A）选项错误.
因为卫星在轨道1上经过Q点时的速度等于它在轨道2上经过Q点时的速度，而在Q点轨道的曲率半径r1
分析纠错：（B）选项正确，但（C）选项错误.根据牛顿第二定律可得a=Fm=GMr2，即卫星的加速度a只与卫星到地心的距离r有关，所以（C）选项错误，（D）选项正确.
三、错误认为卫星克服阻力做功后，卫星轨道半径将变大
例3一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现（）
（A） 速度变小 （B） 动能增大
（C） 角速度变小 （D） 半径变大
错解：当卫星受到阻力作用时，由于卫星克服阻力做功，故动能减小，速度变小，为了继续环绕地球运动，由于卫星速度v=GMr可知，v减小则半径r必增大，又因ω=vr，故ω变小，可见应该选（A）、（C）、（D）.
分析纠错：当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，卫星必定只能降至低轨道上飞行，故r减小.由v=GMr可知，v要增大，动能、角速度也要增大.可见只有B选项正确.
四、混淆稳定运动和变轨运动
图2例4如图2所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（）
（A） b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
（B） b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
（C） c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c
（D） a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大
错解：c加速可追上b，错选C.
分析纠错：因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等.又b、c轨道半径大于a的轨道半径，由v=GMr知，vb=vc
例5根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群.可测出环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系.下列判断正确的是（）
（A） 若v与R成正比，则环为连续物
（B） 若v2与R成正比，则环为小卫星群
（C） 若v与R成反比，则环为连续物
（D） 若v2与R成反比，则环为小卫星群
错解：选（B）（D）
分析纠错：连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相同，其线速度v与R成正比.而对卫星来讲，其线速度v=GM/R，即v与R的平方根成反比.由上面分析可知，连续物线速度v与R成正比；小卫星群v2与R成反比.故选（A）、（D）.
六、错误理解日地拉格朗日点
图3例6（2012江苏卷第8题）2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家.如图3所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动.则此飞行器的（） （A） 线速度大于地球的线速度
（B） 向心加速度大于地球的向心加速度
（C） 向心力仅由太阳的引力提供
（D） 向心力仅由地球的引力提供
错解：选（C）.
分析纠错：拉格朗日点是指卫星受太阳、地球两大天体引力作用，能保持相对静止的点，共有5个.其中L2点位于日地连线上、地球外侧约150万公里处，在L2点卫星消耗很少的燃料即可长期驻留，是探测器、天体望远镜定位和观测太阳系的理想位置，在工程和科学上具有重要的实际应用和科学探索价值，是国际深空探测的热点.在L2点，轨道周期变得与地球的相等.（A）、（B）正确，（C）、（D）错的原因是引力是由地球和太阳共同提供的.答案：（A）、（B）.
七、错误理解万有引力、向心力和重力三者的关系
对于赤道上的某一个物体，有GMmr2=mg+mv2r 当速度增加时，重力减小，向心力增加，当速度v=GMr（即第一宇宙速度）时，mg=0，物体将“飘”起来，星球处于瓦解的临界状态.
例7某星球可视为球体，自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，求星球的平均密度ρ？
解析：设星球的半径为R，在两极和赤道上的重力加速度分别为g极、g赤.
两极： F万=mg=P（1）
赤道上：F万=mω2R+mg赤 （2）
GMmR2=m4π2T2R+0.9P，所以M=4π2R310GT2，所以ρ=3π10GT2.
例8.如果地球自转速度加快，地球上物体的重量将发生怎样的变化？地球自转角速度等于多少时，在赤道上物体的重量为零？这时一昼夜将有多长？ （R地=6370 km，M地=5.98×1024 kg）
解析：以赤道上的物体为研究对象，设转速为n，则：
F万=mω2R+mg赤，所以GMmR2=m4π2T2R+mg赤.
因为n↑→ω↑→mω2R↑→mg赤↓；设地球自转的角速度为ω0时，mg赤=0，则：
GMmR2=mω20R，
所以ω0=GMR2=6.67×10-11×5.98×1024（6370×103）3
=1.24×10-3 rad/s.
T=2πω0=5067 s.
例9（2010年北京卷）一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上.已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（）
（A） （4π3Gρ）12（B） （34πGρ）12
（C） （πGρ）12（D） （3πGρ）12
解析：赤道表面的物体对天体表面的压力为零，说明天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体转动所需要的向心力，有Gρ43πR3mR2=m（2πT）2R，化简得T=3πρG，答案：（D）.