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《重叠问题》是人教版三年级下册“数学广角”的教学内容。我将从以下三个方面进行说课。
一、说教材
集合思想是数学中最基本的思想。从学生一开始学习数学，其实就已经在运用集合的思想了，例如：把1个人、2朵花、3支铅笔等用一条封闭的曲线圈起来表示。又如，学生学习过的分类思想和方法实际上就是集合理论的基础。但是，学生只是对集合有一定的生活经验和知识基础，但还没有抽象成集合的思想，以前所接触到的也只是单独的一个个集合图，而本节课所要用到的含有重复部分的集合图，学生并没有接触过。
教材例1编排的意图是借助学生熟悉的题材，通过统计表的方式列出参加语文小组和数学小组的学生名单，而总人数并不是这两个小组的人数之和，从而引发学生的认知冲突。这时，教材利用直观图（即韦恩图）把这两个课外小组的关系直观地表示出来，从而渗透集合的有关思想，帮助学生找到解决问题的办法。当然，针对三年级学生的认知水平，学习这部分内容，思维力度较强，有一定的挑战性。因此教材只是让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了。
基于以上思考，我设定以下教学目标：
知识与技能：经历韦恩图的产生过程，初步体会集合思想，理解“韦恩图”中各部分表示的意义，并能用数学语言表述，会利用集合思想解决简单的实际问题。
过程与方法：在观察、猜测、操作、比较、交流等数学活动中体会集合思想，会借助集合思想解决简单的实际问题，培养学生用不同的方法解决问题的意识。
情感态度与价值观：利用生活事例让学生感受到数学与生活的密切联系，进一步树立学数学用数学的意识。
根据学情分析，我确定本节课的教学重点是：理解“韦恩图”中各部分表示的含义，并能用数学语言表述，会利用集合思想解决简单的实际问题。
教学难点是：对重复部分的理解。
评析：数学广角是人教版教材中的一大亮点。教师在教学数学广角“重叠问题”时，善于根据教材和编者意图，着力让学生真正体验和感悟数学思想方法——“集合”，并有具体的活动目标、重点。
二、说教法与学法
本课教学我采取“先学后教，以学定教，顺学而导”的教学策略，让学生充分自学、尝试、探究、交流、展示，让他们在猜一猜、说一说、画一画、算一算等一系列活动来理解重叠的含义，并能用学到的知识解决生活中的问题。
评析：教师在教法、学法上，将数学教学活动建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验上，没有让学习活动单纯模仿与记忆，而是让动手实践、自主探索、合作交流，以生为本，让课堂动态生成。
三、说教学过程
为了更好地突出教学重点，突破教学难点，达到已定教学目标，我设计了以下四个教学环节。
第一环节：创设情境，初步感悟。
“施教之功，贵在引路，妙在开窍。”要开启学生通窍之门，就要让学生先学，然后依据先学中暴露出来的问题实现以学定教。
首先，我根据即将到来的“六一”儿童节创设问题情境出示一份通知，让学生收集了解信息。然后提问：“根据要求，每个班一共要选多少人参加这两项比赛？”绝大多数学生会根据以往学习经验认为需要17人。这时，教师反问“一定是17人吗？”引导学生深入思考其他可能性，教师顺势出示参赛名单。随着参赛名单实时呈现，学生的脑海里会跃出一个大大的问号——过去求总数就是直接把各部分的数量加起来的呀，怎么在这里行不通了呢？通过仔细观察，学生会发现之前脱口而出的答案错误了，因为“有重复参加项目的”，从而自然地引出本节课的课题“重叠问题”。
评析：学生是在思维活动中学会思维的。通过学生自学与尝试，暴露的问题是：过去用部分数相加就能求出总数的方法解决不了今天的新问题。问题激起学生强烈认知冲突，研究“重叠问题”变成学生源自内心的学习需求。
第二环节：合作探究，逐步领悟。
本环节中，我大胆放手，适时引导，让学生合作交流，将时间和空间交给学生，让每个学生都参与到活动中来。本环节我设计了以下几个教学活动。
1.提出问题，明确要求
首先我让学生继续观察表格：既参加书法又参加绘画的是哪几人？只参加书法比赛的是哪几人？只参加绘画比赛的是哪几人？引导学生思考：这些信息，可不可以用图表示出来？引导学生进行创造，自主构建韦恩图的雏形。
2.独立探究，自主实践
问题的提出，如一石激起千层浪，激发了学生挑战新问题的欲望，此时，我让学生静静思考，然后再尝试摆一摆。学生自主活动的同时，我深入到学生之中，仔细收集和分析学生的方法，以便后面的教学中能以学定教，顺学而导。
3.合作交流，自主展示
通过学生独立尝试、探究，此时学生对问题的解决有了一定的思考，还可能出现了多种不同的解决问题的策略。特别是对于两项比赛都参加的3名同学，因为名字只有一个，所以在摆的过程中必然会产生矛盾冲突：这几个名字究竟是任意贴在其中一个圈中，还是摆在中间？此时我因势利导，安排了两个层次的交流展示。（1）组内交流。组内四人，通过交流，形成一致的摆法。（2）小组展示。组内交流完成后，请进入全班展示的环节。在小组展示的过程中，建议展示的学生除了展示自己小组的摆法和想法，还要询问其他同学对本组摆法的看法和意见。此时，也要要求其余学生对其展示的摆法做出评价，提出问题。在这样“询问—回应—再询问—再回应”的过程中，教师适时参与其中，生生之间，师生之间，相互启迪，思维的火花得到了碰撞，对韦恩图的认知也逐步走向深入，最终完成韦恩图的创作。此时顺势介绍韦恩图的数学文化，让学生深深感受数学文化，以及隐藏在文化背后的数学思想。
4.再次感知，深化理解
在揭示韦恩图的名称之后，我要求学生用数学化的语言描述韦恩图各部分的含义，在学生描述交流的过程中，教师完善板书：红色的圈表示参加书法比赛的同学，蓝色的圈表示参加绘画比赛的同学，两个圈中间重叠的部分恰好可以表示“既参加了书法比赛又参加了绘画比赛的同学”，左边的月牙形表示“只参加了书法比赛的同学”，右边的月牙形表示“只参加了绘画比赛”的同学。让学生在小组内再互相指一指、说一说，最后通过多媒体课件的光、色等多种信息渠道进一步明确韦恩图各部分的含义。 5.抽象概括，完善认知
在学生明确了韦恩图各部分的含义之后，让学生根据韦恩图列算式解决三（1）班一共有多少人参加了这两项比赛的问题。再在组内和全班交流自己的方法。由于学生思考问题的角度不同，必然会有不同的解决问题的策略。而教师对于学生提出的多种方法，都予以及时的评价和肯定。对于算式中每个数字表示的含义，也让学生讲清讲透，如对于8+9-3=14（人）一一对应板书中的信息和问题，让学生说说为什么减“3”。这样做一方面是让学生感受到韦恩图能很好地帮助理清思路，找到解决问题的方法。另一方面通过学生个性化的解读，使知识到位到每个人，让孩子们感受到解决问题的多样性。
评析：整个新授课环节，教师从学生的自学开始，先尝试后内化，先自主再交流，教师则在学生自学的基础上引导学生展开合作、交流，有针对性地点拨，充分开发学生潜能，充分激发学生的主动性、创造性。
第三环节：反馈应用，实现深悟。
在这个环节中，我安排了以下几个层次的练习。
1.基本练习：动物运动会（出示110页第1题）
第一题是练习二十四的第一题，本题是在学生有利用集合的思想方法解决简单问题经历的基础上，放手让学生辨析集合图的含义，完成对一些动物的分类并填写。最后我添加了一个问题：“大伙正在为自己报了拿手的项目而高兴时，有一种动物11号（小兔）却在圈外垂头丧气。这是为什么呢？”相信学生能够说出因为它既不会游泳又不会飞。这样顺利把集合图由圈内引向了圈外，将学生的视野拓展开来。
2.综合练习：文具店开业（出示110页第2题）
第二题是练习二十四的第二题，文具店昨天与今天进的货有重复的，要求学生列式计算两天一共进了多少种货。本题给学生提供再次感知、认识集合的思想方法的机会，加深对相应集合思想方法的体验。解决问题中，放手让学生用自己喜欢的方式，有效落实问题策略多样性的改革理念，提高学生解题的灵活性。
3.拓展练习
在课开始，对于每个班要选多少人参加比赛，很多学生脱口而出的答案是17人，后来通过观察三（1）班参赛名单，发现有人重复了，实际只有14人。现在再回头看这个问题，三（1）班是14人，那其他班级呢？在这里我通过判断小明和小军的结论再次引起学生思考，小组交流得出“每班参赛的同学最多是17人，最少是8人”。这样在课始问题基础上做出纵向和横向的自然延伸，使学生对“重叠问题”的理解更具深度与广度。
评析：练习是学生掌握知识、形成技能和能力、发展智力的重要方法，也是课堂教学的一个重要环节。通过不同层次的练习巩固强化所学知识，拓展学生的思维空间，使不同的学生得到不同的发展。
第四环节：提炼升华，延伸回悟。
这是本节课的最后一个环节，首先让学生自己总结本节课所学内容，谈体会和收获。同时询问“关于韦恩图和重叠问题，你还有新的问题吗？老师更喜欢那些在解决了问题之后还能提出新问题的同学！”这样一方面在最后给学生回忆梳理全课知识的时间，另一方面鼓励学生主动提出新问题。
最后老师再出示以下表格并提问学生：从这份名单中你发现了什么？怎么用韦恩图来表示这三个小组的重叠问题呢？有兴趣的同学可以课后继续研究。这样做是让学生带着问号进入课堂展开学习，又带着问号走出课堂继续学习，让学生感受数学海洋的无穷奥秘。
评析：学生自己总结、提炼，梳理思想，明晰方法。让学生滋生新疑，是学习深入、理解深刻的体现，是继续深化学习、向更多领域拓展学习的动力。
总评：本说课设计立足教材，超越教材，采取大版块、大线条，采用学生自由的学习形式，以学定教，顺学而导。在开放性的课堂里，学生有充分的学习时空，大胆质疑，广泛交流，充分讨论，通过不同的角度、形式获得知识的学习体验，汲取自己最需要的知识，锻炼自己新的思维。学生智慧的生成，让课堂更具蓬勃生命活力。
（作者单位：重庆市开县汉丰第五中心小学
重庆市开县和谦镇小学）
一、说教材
集合思想是数学中最基本的思想。从学生一开始学习数学，其实就已经在运用集合的思想了，例如：把1个人、2朵花、3支铅笔等用一条封闭的曲线圈起来表示。又如，学生学习过的分类思想和方法实际上就是集合理论的基础。但是，学生只是对集合有一定的生活经验和知识基础，但还没有抽象成集合的思想，以前所接触到的也只是单独的一个个集合图，而本节课所要用到的含有重复部分的集合图，学生并没有接触过。
教材例1编排的意图是借助学生熟悉的题材，通过统计表的方式列出参加语文小组和数学小组的学生名单，而总人数并不是这两个小组的人数之和，从而引发学生的认知冲突。这时，教材利用直观图（即韦恩图）把这两个课外小组的关系直观地表示出来，从而渗透集合的有关思想，帮助学生找到解决问题的办法。当然，针对三年级学生的认知水平，学习这部分内容，思维力度较强，有一定的挑战性。因此教材只是让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了。
基于以上思考，我设定以下教学目标：
知识与技能：经历韦恩图的产生过程，初步体会集合思想，理解“韦恩图”中各部分表示的意义，并能用数学语言表述，会利用集合思想解决简单的实际问题。
过程与方法：在观察、猜测、操作、比较、交流等数学活动中体会集合思想，会借助集合思想解决简单的实际问题，培养学生用不同的方法解决问题的意识。
情感态度与价值观：利用生活事例让学生感受到数学与生活的密切联系，进一步树立学数学用数学的意识。
根据学情分析，我确定本节课的教学重点是：理解“韦恩图”中各部分表示的含义，并能用数学语言表述，会利用集合思想解决简单的实际问题。
教学难点是：对重复部分的理解。
评析：数学广角是人教版教材中的一大亮点。教师在教学数学广角“重叠问题”时，善于根据教材和编者意图，着力让学生真正体验和感悟数学思想方法——“集合”，并有具体的活动目标、重点。
二、说教法与学法
本课教学我采取“先学后教，以学定教，顺学而导”的教学策略，让学生充分自学、尝试、探究、交流、展示，让他们在猜一猜、说一说、画一画、算一算等一系列活动来理解重叠的含义，并能用学到的知识解决生活中的问题。
评析：教师在教法、学法上，将数学教学活动建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验上，没有让学习活动单纯模仿与记忆，而是让动手实践、自主探索、合作交流，以生为本，让课堂动态生成。
三、说教学过程
为了更好地突出教学重点，突破教学难点，达到已定教学目标，我设计了以下四个教学环节。
第一环节：创设情境，初步感悟。
“施教之功，贵在引路，妙在开窍。”要开启学生通窍之门，就要让学生先学，然后依据先学中暴露出来的问题实现以学定教。
首先，我根据即将到来的“六一”儿童节创设问题情境出示一份通知，让学生收集了解信息。然后提问：“根据要求，每个班一共要选多少人参加这两项比赛？”绝大多数学生会根据以往学习经验认为需要17人。这时，教师反问“一定是17人吗？”引导学生深入思考其他可能性，教师顺势出示参赛名单。随着参赛名单实时呈现，学生的脑海里会跃出一个大大的问号——过去求总数就是直接把各部分的数量加起来的呀，怎么在这里行不通了呢？通过仔细观察，学生会发现之前脱口而出的答案错误了，因为“有重复参加项目的”，从而自然地引出本节课的课题“重叠问题”。
评析：学生是在思维活动中学会思维的。通过学生自学与尝试，暴露的问题是：过去用部分数相加就能求出总数的方法解决不了今天的新问题。问题激起学生强烈认知冲突，研究“重叠问题”变成学生源自内心的学习需求。
第二环节：合作探究，逐步领悟。
本环节中，我大胆放手，适时引导，让学生合作交流，将时间和空间交给学生，让每个学生都参与到活动中来。本环节我设计了以下几个教学活动。
1.提出问题，明确要求
首先我让学生继续观察表格：既参加书法又参加绘画的是哪几人？只参加书法比赛的是哪几人？只参加绘画比赛的是哪几人？引导学生思考：这些信息，可不可以用图表示出来？引导学生进行创造，自主构建韦恩图的雏形。
2.独立探究，自主实践
问题的提出，如一石激起千层浪，激发了学生挑战新问题的欲望，此时，我让学生静静思考，然后再尝试摆一摆。学生自主活动的同时，我深入到学生之中，仔细收集和分析学生的方法，以便后面的教学中能以学定教，顺学而导。
3.合作交流，自主展示
通过学生独立尝试、探究，此时学生对问题的解决有了一定的思考，还可能出现了多种不同的解决问题的策略。特别是对于两项比赛都参加的3名同学，因为名字只有一个，所以在摆的过程中必然会产生矛盾冲突：这几个名字究竟是任意贴在其中一个圈中，还是摆在中间？此时我因势利导，安排了两个层次的交流展示。（1）组内交流。组内四人，通过交流，形成一致的摆法。（2）小组展示。组内交流完成后，请进入全班展示的环节。在小组展示的过程中，建议展示的学生除了展示自己小组的摆法和想法，还要询问其他同学对本组摆法的看法和意见。此时，也要要求其余学生对其展示的摆法做出评价，提出问题。在这样“询问—回应—再询问—再回应”的过程中，教师适时参与其中，生生之间，师生之间，相互启迪，思维的火花得到了碰撞，对韦恩图的认知也逐步走向深入，最终完成韦恩图的创作。此时顺势介绍韦恩图的数学文化，让学生深深感受数学文化，以及隐藏在文化背后的数学思想。
4.再次感知，深化理解
在揭示韦恩图的名称之后，我要求学生用数学化的语言描述韦恩图各部分的含义，在学生描述交流的过程中，教师完善板书：红色的圈表示参加书法比赛的同学，蓝色的圈表示参加绘画比赛的同学，两个圈中间重叠的部分恰好可以表示“既参加了书法比赛又参加了绘画比赛的同学”，左边的月牙形表示“只参加了书法比赛的同学”，右边的月牙形表示“只参加了绘画比赛”的同学。让学生在小组内再互相指一指、说一说，最后通过多媒体课件的光、色等多种信息渠道进一步明确韦恩图各部分的含义。 5.抽象概括，完善认知
在学生明确了韦恩图各部分的含义之后，让学生根据韦恩图列算式解决三（1）班一共有多少人参加了这两项比赛的问题。再在组内和全班交流自己的方法。由于学生思考问题的角度不同，必然会有不同的解决问题的策略。而教师对于学生提出的多种方法，都予以及时的评价和肯定。对于算式中每个数字表示的含义，也让学生讲清讲透，如对于8+9-3=14（人）一一对应板书中的信息和问题，让学生说说为什么减“3”。这样做一方面是让学生感受到韦恩图能很好地帮助理清思路，找到解决问题的方法。另一方面通过学生个性化的解读，使知识到位到每个人，让孩子们感受到解决问题的多样性。
评析：整个新授课环节，教师从学生的自学开始，先尝试后内化，先自主再交流，教师则在学生自学的基础上引导学生展开合作、交流，有针对性地点拨，充分开发学生潜能，充分激发学生的主动性、创造性。
第三环节：反馈应用，实现深悟。
在这个环节中，我安排了以下几个层次的练习。
1.基本练习：动物运动会（出示110页第1题）
第一题是练习二十四的第一题，本题是在学生有利用集合的思想方法解决简单问题经历的基础上，放手让学生辨析集合图的含义，完成对一些动物的分类并填写。最后我添加了一个问题：“大伙正在为自己报了拿手的项目而高兴时，有一种动物11号（小兔）却在圈外垂头丧气。这是为什么呢？”相信学生能够说出因为它既不会游泳又不会飞。这样顺利把集合图由圈内引向了圈外，将学生的视野拓展开来。
2.综合练习：文具店开业（出示110页第2题）
第二题是练习二十四的第二题，文具店昨天与今天进的货有重复的，要求学生列式计算两天一共进了多少种货。本题给学生提供再次感知、认识集合的思想方法的机会，加深对相应集合思想方法的体验。解决问题中，放手让学生用自己喜欢的方式，有效落实问题策略多样性的改革理念，提高学生解题的灵活性。
3.拓展练习
在课开始，对于每个班要选多少人参加比赛，很多学生脱口而出的答案是17人，后来通过观察三（1）班参赛名单，发现有人重复了，实际只有14人。现在再回头看这个问题，三（1）班是14人，那其他班级呢？在这里我通过判断小明和小军的结论再次引起学生思考，小组交流得出“每班参赛的同学最多是17人，最少是8人”。这样在课始问题基础上做出纵向和横向的自然延伸，使学生对“重叠问题”的理解更具深度与广度。
评析：练习是学生掌握知识、形成技能和能力、发展智力的重要方法，也是课堂教学的一个重要环节。通过不同层次的练习巩固强化所学知识，拓展学生的思维空间，使不同的学生得到不同的发展。
第四环节：提炼升华，延伸回悟。
这是本节课的最后一个环节，首先让学生自己总结本节课所学内容，谈体会和收获。同时询问“关于韦恩图和重叠问题，你还有新的问题吗？老师更喜欢那些在解决了问题之后还能提出新问题的同学！”这样一方面在最后给学生回忆梳理全课知识的时间，另一方面鼓励学生主动提出新问题。
最后老师再出示以下表格并提问学生：从这份名单中你发现了什么？怎么用韦恩图来表示这三个小组的重叠问题呢？有兴趣的同学可以课后继续研究。这样做是让学生带着问号进入课堂展开学习，又带着问号走出课堂继续学习，让学生感受数学海洋的无穷奥秘。
评析：学生自己总结、提炼，梳理思想，明晰方法。让学生滋生新疑，是学习深入、理解深刻的体现，是继续深化学习、向更多领域拓展学习的动力。
总评：本说课设计立足教材，超越教材，采取大版块、大线条，采用学生自由的学习形式，以学定教，顺学而导。在开放性的课堂里，学生有充分的学习时空，大胆质疑，广泛交流，充分讨论，通过不同的角度、形式获得知识的学习体验，汲取自己最需要的知识，锻炼自己新的思维。学生智慧的生成，让课堂更具蓬勃生命活力。
（作者单位：重庆市开县汉丰第五中心小学
重庆市开县和谦镇小学）